复变函数B 常用公式集锦

是常用的一些公式

判别公式

柯西-黎曼方程（C-R 方程）

{∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}

用途：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域 DD 内解析的充要条件：u,vu,v 可微并且在 DD 内处处满足 C−RC-R 方程

另：此时 f′(z)=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y+i∂v∂x=∂u∂x−i∂u∂y=∂v∂y−i∂u∂y\begin{aligned} f'(z)&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\[-77pt] \end{aligned}

备注：在原点满足 C-R 方程但不可微的例子：f(z)={0,z=0z‾3∣z∣2,z≠0f(z)=\begin{cases} 0,&z=0\\ \frac{\overline z^3}{|z|^2},&z\not=0 \end{cases}

另：极坐标系下 C-R 方程变为 {∂u∂r=1r∂v∂θ1r∂u∂θ=−∂v∂r\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}=-\frac{\partial v}{\partial r} \end{cases}，证明过程见习题解答 第二章 第9题

初等函数及其变形（复数意义下）

通过复指数定义

三角函数与双曲函数

基于 eix=cos⁡z+isin⁡ze^{ix}=\cos z+i\sin z 与 e−iz=cos⁡z−isin⁡ze^{-iz}=\cos z-i\sin z 可得
{sin⁡z=12i(eiz−e−iz)cos⁡z=12(eiz+e−iz)\begin{cases} \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) \end{cases}

类似有
{sh⁡z=12(ez−e−z)ch⁡z=12(ez+e−z)\begin{cases} \sh z=\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})\\ \ch z=\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z}) \end{cases}

有关系
{sh⁡z=−isin⁡izch⁡z=cos⁡iz\begin{cases} \sh z=-i\sin iz\\ \ch z=\cos iz \end{cases}

导数关系与实数情况一样

性质：sin⁡z,cos⁡z\sin z,\cos z 周期为 2π2\pi，sh⁡z,ch⁡z\sh z,\ch z 周期为 2πi2\pi i

对数函数

Ln⁡z=ln⁡∣z∣+iArg⁡z=ln⁡∣z∣+i(arg⁡z+2kπ)(k=0,±1,±2,⋯ )\begin{aligned} \operatorname{Ln}z&=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\\ &=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)\\ &(k=0,\pm1,\pm2,\cdots) \end{aligned}

一般幂函数

w=zα=eαLn⁡z=eα[ln⁡∣z∣+i(arg⁡z+2kπ)](k=0,±1,±2,⋯ )\begin{aligned} w&=z^\alpha\\ &=e^{\alpha \operatorname{Ln} z}\\ &=e^{\alpha[\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)]}\\ &(k=0,\pm1,\pm2,\cdots) \end{aligned}

  1. α\alpha 为正整数时为单值函数
  2. α=mn\alpha=\frac{m}{n} 且 (m,n)=1(m,n)=1 时为 nn 值函数
  3. 其他情况（无理数，复数）为无穷多值函数

反三角函数

解方程可以得到下列公式，可以现推现用
{Arcsin⁡z=−iLn⁡(iz+1−z2)Arccos⁡z=−iLn⁡(iz+z2−1)Arcsin⁡z=−i2Ln⁡1+iz1−izArcsh⁡z=Ln⁡(z+z2+1)Arcch⁡z=Ln⁡(z+z2−1)Arcth⁡z=12Ln⁡1+z1−z\begin{cases} \operatorname{Arcsin} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})\\ \operatorname{Arccos} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{z^2-1})\\ \operatorname{Arcsin} z=-\frac{i}{2}\operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}\\ \operatorname{Arcsh} z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})\\ \operatorname{Arcch} z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\\ \operatorname{Arcth} z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z} \end{cases}

积分公式

基础公式

复积分计算方法：

∫Cf(z)d⁡z=∫C(u+iv)(d⁡x+id⁡y)\int\limits_Cf(z)\operatorname{d}z=\int\limits_C(u+iv)(\operatorname{d}x+i\operatorname{d}y)

柯西积分公式

f(n)(z)=n!2πi∫Cf(ϵ)(ϵ−z)n+1dϵf^{(n)}(z)=\frac {n!}{2\pi i}\int\limits_C \frac{f(\epsilon)}{(\epsilon-z)^{n+1}}d\epsilon

积分表（仍在收集中）

如果你觉得有比较重要的积分，欢迎联系我们添加（联系方式在这里）

  1. I=∫Cd⁡z(z−a)n={2πi(n=1)0(n≠1)I=\int\limits_C\frac{\operatorname{d}z}{(z-a)^n}=\begin{cases} 2\pi i&(n=1)\\ 0&(n\not=1) \end{cases} （可由柯西积分公式推出）